第59章 对数运算规律及应用（1/2）

一、对数基本概念

1.1对数的定义

对数是一种数学运算，是求幂的逆运算。若a^x=N（这里的a称为底数，N称为真数。例如，2^3=8，那么log_{2}8=3。对数能将复杂的乘方运算转换为简单的乘法，极大方便了计算，在数学与科学领域应用广泛。

1.2常用对数与自然对数

常用对数是以10为底的对数，记作lg$N$。在科学计算、工程技术等领域常用，方便处理大数。自然对数则是以无理数e（约等于2.）为底的对数，记作lnN。e是自然增长和衰减过程，的重要常数，自然对数在微积分、物理学等，学科中有着重要作用。

1.3对数的基本性质

负数和零，没有对数，这是因为在a^x=N中，若N为负数或零，则找不到符合，条件的x。对数还有诸多，基本性质，这些性质是研究对数，和解决对数问题的基石，能简化运算，方便我们理解，和应用对数。

二、对数运算等式证明

2.1证明lgx^y=ylgx

等式lgx^y=ylgx意味着，以10为底数，x的y次方的对数，等于y乘以以10为底数x的对数。设x^y=N，则y=log_xN。根据对数的换底公式，有log_xN=lgN\/lgx，所以y=lgN\/lgx。又因为N=x^y，所以y=lgx^y\/lgx，即lgx^y=ylgx。例如，计算lg8^3，8^3=512，lg512=2.7095，lg8=0.9031，3x0.9031=2.7095，结果一致。

2.2证明lgx\/y=lgx-lgy

等式lgx\/y=lgx-lgy表示，以10为底数，x与y的商的对数，等于x的对数减去y的对数。设x\/y=N，则有x=Ny。根据对数的定义，lgx=lgyN。由对数的积运算，法则知lgyN=lgy+lgN，所以lgx=lgy+lgN，即lgN=lgx-lgy。在实际应用中，如计算lg100\/10，lg100=2，lg10=1，2-1=1，lg100\/10=1，结果相符。

2.3证明lgxy=lgx+lgy

等式lgxy=lgx+lgy的含义是，以10为底数，x与y的积的对数等于x的对数与y的对数之和。设xy=N，则有y=N\/x。由对数的定义知lgy=lg(N\/x)。根据对数的商，运算法则，lg(N\/x)=lgN-lgx，所以lgy=lgN-lgx，即lgN=lgx+lgy。在实际计算里，计算lg20x5，lg20=1.301，lg5=0.699，1.301+0.699=2，lg20x5=2，结果正确。

三、不同对数转换

3.1常用对数与自然对数转换

本章未完，点击下一页继续阅读。