第139章 迷宫（1/2）

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他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。

定义3(孪生条件)：两个整数和n是孪生素数对，当且仅当：

1.φ和φ(n)都是X中的“算术奇点”，即对应素数的像；

2.d(φ,φ(n))=2；

其中2是所有进分量差异的加权和。

如果和n是孪生素数对，比如3和5，那么对于大多数素数，|3—5|_=|—2|_。

对于≠2，|—2|_=1，因为—2不被整除。

对于=2，|—2|_2=1

2，因为2整除—2一次。

所以d(φ(3),φ(5))=Σω·1(对≠2)+ω(2)·(1

2)。

因为Σω发散，所以这个和发散。

所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？

肖宿皱起眉头。

不对，这样定义有问题。

他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个，|—n|_=1。

加权和自然发散。

需要修改。

也许不是所有都计入？

也许只有那些对“区分”和n有贡献的才计入？

肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。

定义2在实际计算中，应该只考虑那些|—n|_≠0的，即不整除—n。

对于这些，|—n|_=1。

所以d(φ,φ(n))正比于这些的权重和。

当—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。

减去发散项，留下有限部分。

肖宿自已曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对于素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。

在这里也可以用同样的方法。

定义2'(正规化加权度量)：定义正规化距离d?(φ,φ(n))=li_{X→∞}[Σ_{≤X,?(—n)}ωΣ_{≤X}ω

]

这个定义的精妙之处在于，第一项求和是对所有不整除(—n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。

当X→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。

肖宿开始估算这个值。

对于固定的差值k=—n，不整除k的素数占比大约是∏_{|k}(1—1

)。

所以第一项约等于(∏_{|k}(1—1

))·Σ_{≤X}ω。

第二项是Σ_{≤X}ω

。

两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。

当k=2时，只有=2整除k。

所以∏_{|k}(1—1

)=1—1

2=1

2。

因此：d?(φ,φ(n))=li[(1

2)·Σ_{≤X}ωΣ_{≤X}ω

]+有限修正=liΣ_{≤X}ω·(1

21

)+有限修正

当很大时，(1

21

)趋近于1

2，所以这个级数发散，除非ω衰减得足够快。

ω=(—1)

·log~log。

乘以(1

21

)后，仍然~(1

2)log，求和发散。

又卡住了。

肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。

也许ω需要重新设计。

也许应该让ω衰减得快一些，比如ω=log

？

但这样在之前的有理点估计中就不够用了。

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