第139章 迷宫（2/2）

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他陷入了沉思。

窗外传来远处的汽车声，很轻，像是从另一个世界飘来的。

等等。

肖宿突然想到一种可能性。

也许根本不需要d?(φ,φ(n))=2这个条件。

也许孪生素数的本质特征在于，φ和φ(n)在X中形成某种特殊的“双子结构”，一种在辛几何意义下的配对。

他想起自已在顾—辛框架中定义的“孪生结构”，那原本是用来描述辛流形上两个互为对偶的子流形的。

如果把这个概念移植过来...

孪生结构的定义是设(M,ω)是一个辛流形，L1和L2是两个拉格朗日子流形。

如果存在一个辛同胚φ:M→M，使得φ(L1)=L2，且φ^2=id，则称(L1,L2)构成一个孪生结构。

现在，把X看作一个辛流形。把每个素数对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。

那么，孪生素数对(,+2)对应于一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联系。

这个辛同胚是什么？

肖宿放下笔沉思了会儿。

在数轴上，从到+2是一个平移。

在X中，这个平移应该对应于一个变换T，它在每个进分量上的作用是T(x)=x+2。

T是一个辛同胚吗？在顾—辛框架的辛结构中，平移确实是辛同胚，因为辛形式是平移不变的。

所以T是辛同胚。

那么T^2就是平移4，不是恒等映射。

所以不满足φ^2=id的条件。

也许不是要求φ^2=id，而是要求φ和某个对合变换的复合是id？

肖宿继续思考。

设S是某个对合变换，比如S(x)=—x。那么如果T°S是id，则T=S。

这不可能。

如果S°T°S=T^{—1}？

这有点像辛几何中的某种对偶关系。

也许这就是关键。

肖宿开始重新表述问题。

在顾—辛框架中，任何一个辛流形都有三个基本不变量：旋转守恒量、层次结构指数、可计算性度量。

对于X这个特殊的辛流形，它的旋转守恒量应该与素数分布有关。

如果我能够证明，在X中，由孪生素数条件所定义的子集具有非零的旋转守恒量，那么这个守恒量的存在就会强制要求孪生素数有无穷多对，就像角动量守恒强制要求旋转体不能停止一样。

这个想法让肖宿眼前一亮。

他继续在纸上推导起来。

第一步就是构造X上的辛形式。

这需要用到顾—辛框架中的标准方法，通过对每个进分量赋予一个权重，然后取某种直和。

具体来说，设ω_是第个分量上的标准辛形式，在进数域上，辛形式可以定义为ω_(x,y)=|xy'x'y|_，但需要适当正规化。

然后定义总辛形式为Ω=Σλ_ω_，其中λ_是权重系数。

权重系数需要满足某些条件，比如使得Ω是良定义的，即级数收敛，并且使得平移变换保持Ω。

肖宿尝试设λ_=1

(log)。

这样Σλ_收敛，因为Σ1

(log)发散？

不，Σ1

(log)是发散的，积分∫dx

(xlogx)发散。

所以需要衰减得更快。

λ_=1

((log)^2)？

这个级数收敛，因为∫dx

(x(logx)^2)收敛。

好，就用这个。

第二步是定义孪生结构。

设L_是X中对应于素数的点，即第个分量为，其他分量为0的嵌入像。

那么对于孪生素数对(,+2)，我们有一对点(L_,L_{+2})。

现在考虑变换T:x→x+2。

这是一个辛同胚，因为Ω是平移不变的。

考虑对合变换S:x→—x。

S也是辛同胚，如果Ω是偶函数的话，这还需要验证，但暂时假设成立。

那么S°T是一个变换，它把x映到—x—2。

这个变换的平方是？

(S°T)^2=S°T°S°T=S°(T°S°T)。T°S°T把x映到T°S(T(x))=T°S(x+2)=T(—x—2)=—x。

所以T°S°T=—id。

因此(S°T)^2=S°(—id)=—S。

这不是恒等映射。

有点乱。

肖宿意识到，可能还需要更系统的分析。