第140章 原来到达山顶的路是这样的（1/2）

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他换了个思路。

在辛几何中，拉格朗日子流形之间的几何关系可以用它们的相交理论来描述。

对于两个拉格朗日子流形L1和L2，它们的相交数是一个重要的不变量。

如果L1和L2是某个辛同胚的像，那么这个相交数就反映了这个辛同胚的性质。

在X中，L_和L_{+2}是两条零维子流形，即点。

它们不相交，除非=+2，这不可能。

所以相交数为0。

这没有信息。

也许需要考虑更高维的拉格朗日子流形。

肖宿想到，可以构造一个一维拉格朗日子流形，它连接所有孪生素数对。

比如，考虑所有满足x和x+2都是素数的实数x的集合，这是一些孤立点，无法连成连续曲线。

还是不行。

肖宿再次站起身，在房间里踱步。

也许问题不在于单个素数对，而在于素数对的分布模式。

就像统计物理中，我们关心的不是单个粒子的位置，而是粒子的关联函数。

他想起陶哲轩报告中提到的“关联函数”概念。

对于素数分布，可以定义两点关联函数R(k)=li(1

N)Σχ_P(n)χ_P(n+k)，其中χ_P是素数的特征函数。

哈代—李特尔伍德猜想给出了R(2)的渐近形式：R(2)~

(logN)^2，其中C≈1.32是孪生素数常数。

这个常数C是怎么来的？

它是∏_{＞2}(11

(—1)^2)。这个乘积收敛到1.32...。

肖宿盯着这个乘积，突然意识到什么。

这个形式，和顾—辛框架中加权度量的正规化项很像！

他的笔快速动了起来：

C=∏_{＞2}(11

(—1)^2)=ex[Σ_{＞2}log(11

(—1)^2)]

而log(11

(—1)^2)~—1

^2当很大时，所以这个级数收敛。

如果把加权度量中的权重ω取为log(11

(—1)^2)，那么正规化后的距离d?就会与C有关。

肖宿开始重新定义。

设ω=—log(11

(—1)^2)对于＞2，对于=2需要单独处理。

这个权重是正的，因为11

(—1)^2＜1，所以log为负，加负号后为正。

当很大时，ω~1

^2，所以Σω收敛。

非常好！

这样定义加权度量时，不再需要正规化，因为级数本身就收敛。

接着再定义(顾—辛关联度量)：对于两个整数和n，定义它们的关联距离为ρ(,n)=Σ_{?(—n)}ω+δ_{2|(—n)}·ω(2)，其中ω=—log(11

(—1)^2)对于＞2，ω(2)由单独公式定义。

对于孪生素数对(,n)=(,+2)，—n=2，所以=2整除—n。

因此：ρ(,+2)=ω(2)+Σ_{＞2,?2}ω=ω(2)+Σ_{＞2}ω

因为对于＞2，2不被整除，所以所有＞2都计入。

而Σ_{＞2}ω=Σ_{＞2}log(11

(—1)^2)=—logC

所以ρ(,+2)=ω(2)logC

只要适当定义ω(2)使得ρ(,+2)=某个常数，比如1，就可以得到ω(2)=1+logC。

完美！

肖宿的思考越来越快，难以抑制的嘴角上扬。

他知道自已离成功越来越近了。

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