第293章 千金争舍，传流一字（1/2）
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朱翊钧心不在焉地将主动缠到鱼钩上的草鞋解下，重新扔进湖中。
他咂摸着刘顿开的一番话，心中难得有些自惭形秽，后悔没有及时接见这几位学者。
这才是大明朝真正的栋梁之材啊！
早知道哥几个思考的问题如此深入，朱翊钧就应该纳头便拜，哪里还敢拿架子，偷偷跑来钓鱼?
将数字分门别类，听起来简单，但这就涉及到集合；
涉及到集合，就必然需要给每个集进行定义；
一旦开始定义，就会发现许许多多不被定义的脏东西，这里不是骂人，而是指2这一类不可度量的数字。
?2是什么?
这是一个非常经典的问题，古今中外许许多多有识之士，都有幸窥见过它的轮廓，甚至做出了尝试，但无一例外，都在山腰折返。
毕达哥拉斯学派率先窥见，因它除之不尽，大大地破坏了数学的美感，于是便将它开除出“数”的籍贯，传还顺带把提出问题的人扔进了海里。
《几何原本》试图正视，却无法将其定义，费尽周折，在通过比例论正，将其纳入几何的范畴后，意犹未尽地收手。
《九章算术》中的先贤紧随其后，也只能遗憾地留下一句“若开之不尽者，为不可开”退而求其次，将其算法化、近似化、实用化。
它到底是个什么东西?
两千年里，没有人能想明白。
偏偏这又是房间里的大象，但凡想打好数学的地基，就绝对无法忽视它。
朱翊钧知道，总有一天，把2开到十二次方根的朱载堉，一定会忍不住思考这个问题。
但他没想到，刘顿开会突然告诉自己，证明了2不是分数。
完全出人意料，猝不及防。
“刘学者怎么偶然证明的呢?”
朱翊钧真的很好奇，好奇到连鱼竿都扔在了一边，真心请教。
因为，他虽然知道这部分常识，却也是知其然不知其所以然，半懂不懂，原来还能证明?
刘顿开见皇帝郑重其事，不免又紧张上了。他双手揪住衣襟，手指反复缠绕，局促道：“那俺……微臣就献丑了。”
“我们注意到，若一个整数的平方是偶数，则这个整数本身一定是偶数。”
注意力还是那么惊人，朱翊钧忍不住腹诽一句。
不过这个引理很容易就能得出，都没必要确认。
“俺先假设?2可以用分数表示，那么一定存在，最简的分数甲/乙=?2。”
刘顿开一起证明过程，突然也不紧张了，对着皇帝就滔滔不绝地解释了起来：“两边同时平方。”
“得到甲2=2*乙2，易见，甲的平方是偶数，可推出，甲是偶数。”
“而显然，乙也是偶数……”
朱翊钧连忙打断：“等会，前面我懂了，那最后怎么得出乙也是偶数的?”
坏了。
数学不会欺骗你，不会就是不会，哪怕回到古代都不会。
刘顿开闻言，本能眉头一皱。
眼看他就要把课堂的习惯带到皇帝面前时，程大位连忙插话：“陛下，甲是偶数，可以表示为2*丙,则有甲2=4*丙2。”
“再代入甲2=2*乙2,可知4*丙2=2*乙2,乙显然也是偶数。”
朱翊钧一拍大腿：“哦！原来如此！”
刘顿开和朱载堉对视一眼，神情有些古怪，皇帝怎么感觉笨笨的?
这还怎么找皇帝拿主意?
刘顿开心怀忧虑地摇了摇头，继续把证明完：“既然甲乙都是偶数，那么显然就不是最简的分数。”
“这便与最初的‘存在性假设’相矛盾。”
“既然矛盾，那便明不存在这样能表示?2的分数。”
“陛下听懂了么?”
朱翊钧当然听懂了，听懂之后再度找回自信。
他意犹未尽地点了点头，评头论足道：“这不挺简单嘛，怎么没有前人想到过?”
感觉就纯学计算，也就他刚刚没反应过来，给他几天想想，保证一气呵成。
怎么就让人束手无策两千年呢?
朱载堉闻言，突然起身，朝皇帝郑重其事一拜。
“陛下传道逻辑学，使千年迷雾一朝昏镜重磨，拨云见日，如此恩泽四海，功昭日月，微臣替天下术者拜谢万一。”
见状，程大位与刘顿开也仓促起身，朝皇帝躬身一拜。
“陛下功绩，彪炳千秋！”
“陛下功绩，彪炳千秋！”
朱翊钧一愣，旋即动容。
饶是他见惯了天下最大的场面，此时竟也嗫嚅无言，手足失措。
他几乎立刻便醒悟朱载堉表达的意思。
这一番证明下来，计算过程格外的简单，所以，难点并不在此，而是在于从逻辑学中脱胎的反证法！
简简单单的“既然矛盾，便证明不存在”几个字，是历朝历代的聪明人都无法想象的新天地。
这是新的工具，新的方法。
刘顿开看似只是微微伸手，就轻易摘下了一颗汁水饱满的数学果实，实际上，正是因为他站在逻辑学这座山丘之上，才能如此唾手可得。
“闻道有先后，达者为师。”
朱翊钧亲手将几人扶了起来，报以肃然：“你们的智识与功德远超于我，快快请起。”
他算是知道，为什么这几人一边视他如笨猪，一边又不远万里前来向笨猪请教了。
想通此节，朱翊钧定定看着刘顿开：“所以，刘学者不是已经得证了么?莫非还有疑问?”
刘顿开闻言，支支吾吾道：“就是因为证了，俺才不知道这一类不可度量之数，应该如何分门别类。”
“俺没有在《九章算术》中找到定义，《几何原本》中也没到。”
“只好来请教陛下。”
是请教，其实就是将最后一步的定义权，主动交给了皇帝。
如果是单纯的数学行为，刘顿开作为第一发现人，当然有重新定义的权力，分门别类更是顺理成章。
奈何混迹在朝廷里，得先给皇帝敬酒。
好在，皇帝笨是笨了点，但总归是开道之人，放低些姿态，几人心中也不排斥。
朱翊钧却不接这个话茬，看向朱载堉：“我不是将此事全权交给了皇叔?”
涉及到世界真正的进步，他也没了钓鱼的心思，招了招手，示意几人边走边走。
朱载堉亦步亦趋跟在皇帝身后。“陛下，微臣自身难保，哪还能指点他人。”
他半真半假，苦笑着开口：“刘学者有刘学者的疑惑，臣自然也有臣的疑惑。”
为了执行皇帝分门别类的任务，众人在将数字集合化的过程中，遇到许多前所未见的问题。
刘顿开不例外，朱载堉当然也不例外。
若非如此，怎么会一股脑都来找皇帝?
“皇叔天纵奇才，能遇到什么麻烦?”
朱翊钧既是故意撇下请示的刘顿开，也是真心好奇。
朱载堉闻言，长长叹了一口气，幽幽道：“陛下，臣发现一个窟窿。”
皇叔哥到底是宗室，话继承了老朱家爱打哑谜的习惯。
朱翊钧很给面子地追问道：“窟窿?”
有人捧场，朱载堉很是受用，不自觉地压低声音道：“刘学者的问题，是在将数对应为分数时发现的，臣遇到问题，则是将分数对应为数时发现了。”
“就是1/3这个数，将其化为数后，便可写作0.3的3循环。”
“在一次计算中，臣习惯性地对二者同时进行了乘法计算。”
“臣竟然偶然地发现……”
着，他用一种惊恐的神色环顾众人。
朱翊钧连忙追问：“偶然发现了什么?”
他已经隐约猜到朱载堉想什么了。
如果是这样的话，那确实是一个窟窿，而不是像刘顿开一样，产生了新的理论。
不过即便如此，他还是十分配合皇叔卖的关子，脸上满是期待。
只听朱载堉以一种难以置信的语气，骇然道：“0.9的9循环，竟然就等于1！”
此言一出，震惊四座。
什么！
这太令人震惊了！
朱翊钧努力配合着皇叔营造出来的震惊情绪，猛地顿住脚步，猛地用荒唐的眼神看向朱载堉。
嗯，实际上嘛，情绪一般。
因为皇叔并没有发现什么惊人的数学规律，也没有走上正确道路。
恰恰相反，朱载堉的过程，忽视了极为重要的东西。
他在实数、极限、无限数运算尚未严格定义时，直接把0.3的3循环当作可做乘法的“数”，这是未定义运算。
事实上，即便定义了，无论是级数还是数组还是极限等等，都是数在实数域内的完备定义，直接用数的实数定义来进行计算，也是一种循环论证。
不过朱翊钧倒也不急，错误，正是完善相对真理的必经之路。
朱翊钧做出一副沉吟许久的模样，等皇叔稍微平复过后，才佯作犹豫道：“皇叔为什么觉得，0.3的3循环，可以直接用作乘法计算?”
朱载堉一愣：“加减乘除，这不是自然而然的事么?”
朱翊钧叹了一口气。
他交代的任务本身就不是短期内可以完成的任务，遇到一点完全不能理解的事情，实在再正常不过了。
就像眼前朱载堉遇到的问题一样，这当然不是自然而然的事情。
将“数”分门别类，其实是一个良定的过程。
就像柯西完备化是把度量空间中的柯西列按“差趋于零”划分等价类，以补全极限的构造。
因此，这条从有理数到实数的定义路线，讨论朱载堉的问题就离不开极限。
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